مسئله گنجشک و درخت سیب 🍎

صورت مسئله

یک گنجشک در حال تلاش برای صعود به یک درخت سیب بلند 9 متری است. او هر روز 2.3 متر بالا می‌رود، اما شب‌ها 0.7 متر پایین می‌آید. چند روز طول می‌کشد تا گنجشک به بالای درخت سیب برسد؟ 🤔

روش اول: محاسبه پیشرفت خالص روزانه 📈

برای حل این مسئله، ابتدا باید میزان پیشرفت خالص گنجشک در هر روز را محاسبه کنیم. او هر روز 2.3 متر بالا می‌رود و شب‌ها 0.7 متر پایین می‌آید. بنابراین، پیشرفت خالص او در هر روز برابر است با:

$$\mathrm{پیشرفت}=2.3-0.7=1.6\text{متر}$$

حالا باید ببینیم چند روز طول می‌کشد تا گنجشک با این سرعت به بالای درخت برسد. برای این کار، ارتفاع درخت را بر پیشرفت خالص روزانه تقسیم می‌کنیم:

$$\mathrm{تعداد}\mathrm{روزها}=\frac{9}{1.6}=5.625$$

از آنجایی که گنجشک نمی‌تواند 0.625 روز بالا برود، باید تعداد روزها را به عدد صحیح بعدی گرد کنیم. اما یک نکته مهم وجود دارد: در آخرین روز، گنجشک ممکن است قبل از شب شدن به بالای درخت برسد و نیازی به پایین آمدن نداشته باشد. بنابراین، باید بررسی کنیم که آیا گنجشک در روز پنجم به بالای درخت می‌رسد یا خیر.

بعد از 5 روز، گنجشک 5 * 1.6 = 8 متر بالا رفته است. در روز ششم، او 2.3 متر دیگر بالا می‌رود که مجموعاً می‌شود 8 + 2.3 = 10.3 متر. از آنجایی که ارتفاع درخت فقط 9 متر است، گنجشک در روز ششم به بالای درخت می‌رسد و نیازی به پایین آمدن ندارد.

بنابراین، پاسخ این مسئله 6 روز است. 🎉

روش دوم: بررسی روزانه 🗓️

می‌توانیم پیشرفت گنجشک را در هر روز به صورت جداگانه بررسی کنیم:

روز	پیشرفت (بالا رفتن)	ارتفاع نهایی
1	2.3 متر	2.3 متر
شب 1	پایین آمدن	2.3 - 0.7 = 1.6 متر
2	2.3 متر	1.6 + 2.3 = 3.9 متر
شب 2	پایین آمدن	3.9 - 0.7 = 3.2 متر
3	2.3 متر	3.2 + 2.3 = 5.5 متر
شب 3	پایین آمدن	5.5 - 0.7 = 4.8 متر
4	2.3 متر	4.8 + 2.3 = 7.1 متر
شب 4	پایین آمدن	7.1 - 0.7 = 6.4 متر
5	2.3 متر	6.4 + 2.3 = 8.7 متر
شب 5	پایین آمدن	8.7 - 0.7 = 8 متر
6	2.3 متر	8 + 2.3 = 10.3 متر

همانطور که در جدول می‌بینید، گنجشک در روز ششم به بالای درخت می‌رسد. ✅

روش سوم: فرمول‌بندی ریاضی 🧮

می‌توانیم مسئله را با استفاده از یک فرمول ریاضی حل کنیم. فرض کنید n تعداد روزها باشد. در هر روز، گنجشک 1.6 متر پیشرفت می‌کند. بنابراین، بعد از n-1 روز، او (n-1) * 1.6 متر بالا رفته است. در روز آخر، او 2.3 متر دیگر بالا می‌رود و به بالای درخت می‌رسد.

بنابراین، می‌توانیم معادله زیر را بنویسیم:

$$(n-1)\times 1.6+2.3\ge 9$$

حالا باید این معادله را برای n حل کنیم:

$$1.6n-1.6+2.3\ge 9$$ $$1.6n+0.7\ge 9$$ $$1.6n\ge 8.3$$ $$n\ge \frac{8.3}{1.6}=5.1875$$

از آنجایی که n باید یک عدد صحیح باشد، کوچکترین مقدار ممکن برای n برابر با 6 است. بنابراین، گنجشک به 6 روز زمان نیاز دارد تا به بالای درخت برسد. 👍

توضیحات تکمیلی و اصطلاحات کلیدی 📚

• پیشرفت خالص: میزان تغییر موقعیت یک جسم در واحد زمان، با در نظر گرفتن تمام عوامل مؤثر (مانند بالا رفتن و پایین آمدن).
• فرمول‌بندی ریاضی: تبدیل یک مسئله به یک معادله یا نامعادله ریاضی برای حل آن.
• گرد کردن: یافتن نزدیکترین عدد صحیح به یک عدد اعشاری.
• نامعادله: عبارتی که نشان دهنده رابطه بین دو مقدار است و می‌تواند با علامت‌های بزرگتر، کوچکتر، مساوی یا نامساوی بیان شود.